數(shù)控機(jī)床誤差分析技術(shù)問題的研究(一)
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緒 論
1.1課題的提出與意義
數(shù)控機(jī)床是制造業(yè)實(shí)現(xiàn)自動化、柔性化、集成化生產(chǎn)的基礎(chǔ)，其水平的高低和擁有量多少是衡量一個國家工業(yè)現(xiàn)代化的重要標(biāo)志。工業(yè)發(fā)達(dá)國家把數(shù)控機(jī)床視為具有高技術(shù)附加值和高利潤的重要出口產(chǎn)品。數(shù)控機(jī)床已成為關(guān)系到國家戰(zhàn)略地位和體現(xiàn)國家綜合國力的重要基礎(chǔ)性產(chǎn)品[1]。高速、高精度是數(shù)控機(jī)床發(fā)展的一個主要方面，據(jù)統(tǒng)計(jì)從上世紀(jì)中葉至今的50年里，機(jī)床的加工精度每隔8年就提高一倍[2]。隨著數(shù)控加工技術(shù)的廣泛應(yīng)用，對數(shù)控加工精度的要求日益提高。對工廠而言，提高產(chǎn)品質(zhì)量在一定程度上意味著需要淘汰一批精度低的現(xiàn)有機(jī)床，但這對我國大多數(shù)數(shù)控機(jī)床用戶來說是一筆不小的投入。若維持現(xiàn)有設(shè)備成本，很可能無法滿足用戶對數(shù)控機(jī)床精度的要求，若從根本上提高數(shù)控機(jī)床的制造精度，無疑將導(dǎo)致生產(chǎn)成本的大幅度上升，影響用戶購買的積極性。針對我國數(shù)控機(jī)床生產(chǎn)和應(yīng)用的具體情況，如何經(jīng)濟(jì)有效的提高數(shù)控機(jī)床的精度是一個極有研究價值的課題。
在研究影響加工精度的因素時，應(yīng)當(dāng)對機(jī)械加工的全過程進(jìn)行分析。分析表明，影響加工精度的誤差主要有幾何誤差和動誤差兩個方面。幾何誤差包括加工原理誤差、工件的裝夾誤差、調(diào)整誤差、刀具誤差、機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)誤差、機(jī)床導(dǎo)軌導(dǎo)向誤差和機(jī)床傳動誤差。動誤差包括測量誤差、刀具磨損、工藝系統(tǒng)受力變形，工藝系統(tǒng)受熱變形、工件殘余應(yīng)力引起的變形。其中，幾何誤差和由溫度引起的誤差占機(jī)床總誤差的70%[3]。
在機(jī)械制造業(yè)中，被加工零件的尺寸精度、形狀精度和相對位置精度是機(jī)械加工精度的重要指標(biāo)。為了提高機(jī)床加工精度，各國學(xué)者作了大量的深入，提出了很多行之有效的方法。縱觀這些方法，可以將他們分為兩大類：誤差防止法和誤差補(bǔ)償法[3，4]。
誤差防止法是通過提高機(jī)床零部件的加工與裝配精度，加大機(jī)床系統(tǒng)的剛度以及嚴(yán)格控制機(jī)械加工環(huán)境等方法來提高機(jī)械加工精度，即在制造和設(shè)計(jì)過程中來消除可能的誤差源。該方法有一個致命的弱點(diǎn)，即機(jī)床的性能與造價成幾何級數(shù)關(guān)系增長。同時，由于數(shù)控機(jī)床的機(jī)構(gòu)復(fù)雜，零部件非常之多，機(jī)床的工況復(fù)雜等問題，使得單純采用誤差防止法來提高機(jī)床的加工精度是十分困難的。
誤差補(bǔ)償法是通過分析影響加工精度的不同誤差來源，建立空間誤差數(shù)學(xué)模型，利用前饋預(yù)報(bào)技術(shù)對機(jī)械系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正，從而提高機(jī)械加工精度。該方法可用普通的機(jī)床加工出高精度的產(chǎn)品，實(shí)現(xiàn)“不使用精密加工設(shè)備的精密加工”[5]。因此，非常適合于我國制造工業(yè)發(fā)展現(xiàn)狀：即工業(yè)底子薄，中、低檔數(shù)控設(shè)備比率較大，且在短期內(nèi)難以對現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行大量的更新和改造[6]。我國工業(yè)基礎(chǔ)差，與發(fā)達(dá)國家有很大差距，再加上資金少，使用的數(shù)控設(shè)備檔次較底，基本上都是中底檔數(shù)控設(shè)備，且難以對現(xiàn)有的設(shè)備進(jìn)行大量的更新和改造。而誤差補(bǔ)償技術(shù)的最大的特點(diǎn)就是在無需大量投入資金的情況下提高加工精度，創(chuàng)造更大的效益。誤差補(bǔ)償技術(shù)對我國機(jī)械制造業(yè)的發(fā)展意義更為重要。攻克誤差補(bǔ)償技術(shù)難關(guān)，進(jìn)而進(jìn)行廣泛推廣，這肯定會使我國機(jī)械行業(yè)整體質(zhì)量有很大的提高，創(chuàng)造巨大的經(jīng)濟(jì)效益。因此，對誤差補(bǔ)償技術(shù)的深入研究與應(yīng)用，不僅有利于我們跟蹤世界前沿課題，達(dá)到技術(shù)領(lǐng)先優(yōu)勢，而且更重要的是，該項(xiàng)工作是我國機(jī)械行業(yè)目前亟待解決的關(guān)鍵課題之一[4]。
綜上所述，對數(shù)控機(jī)床誤差分析技術(shù)問題的研究，不僅有利于我們跟上世界前沿的課題，而且更重的是，針對我國制造業(yè)的發(fā)展現(xiàn)狀，對機(jī)床加工工件精度的提高提供了重要的技術(shù)方法，對我國制造業(yè)加工現(xiàn)狀有很明顯的經(jīng)濟(jì)效益，對我國的經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展提供了新的動力。
1.2 課題研究的背景綜述
機(jī)床精度的高低是用誤差來衡量的。一般的說，數(shù)控機(jī)床機(jī)械部件主要由床身、立柱、轉(zhuǎn)軸、拖板、工作臺及傳動部件組成。每個部件都可能導(dǎo)致誤差的產(chǎn)生。影響數(shù)控機(jī)床的誤差源大體可劃分為[7,8]：
1） 機(jī)床部件及構(gòu)造導(dǎo)致的幾何誤差；
2） 運(yùn)動誤差；
3） 熱變形產(chǎn)生的誤差；
4） 力產(chǎn)生的誤差，包括：載荷變形誤差、軸加速時偏心力產(chǎn)生的誤差及切削力產(chǎn)生的誤差。
5） 材料不穩(wěn)定導(dǎo)致的誤差；
6） 檢測系統(tǒng)的測試誤差；
7） 機(jī)床裝配導(dǎo)致的誤差；
8） 磨損產(chǎn)生的誤差，這包括刀具系統(tǒng)的磨損；
9） 定位產(chǎn)生的誤差；
10) 外界干擾誤差，主要指環(huán)境條件的擾動和運(yùn)行工況的波動所引起的誤差。
最傳統(tǒng)的誤差補(bǔ)償方法應(yīng)算是借助凸輪、靠模、校正尺等機(jī)械式補(bǔ)償機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對精密機(jī)床系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正的方法，雖然機(jī)械機(jī)構(gòu)式的誤差補(bǔ)償方法取得了一定的成果，但該方法存在著設(shè)計(jì)周期長、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、笨拙、成本高、柔性差等問題，難以滿足單件、小批等生產(chǎn)的要求[9]。
隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)及檢測技術(shù)的不斷發(fā)展，以及人們對機(jī)床運(yùn)動規(guī)律的認(rèn)識不斷深入，以機(jī)床運(yùn)動模型及功能芯片為主體的誤差補(bǔ)償方法，逐步替代了傳統(tǒng)的機(jī)械機(jī)構(gòu)誤差補(bǔ)償方法，在當(dāng)今數(shù)控誤差補(bǔ)償研究中一直占主導(dǎo)地位，并取得了明顯的效果[4]。
現(xiàn)在，以數(shù)控機(jī)床誤差模型為基礎(chǔ)的誤差補(bǔ)償實(shí)施方法主要可分為兩類[10]：其一是軟件補(bǔ)償法，其二是硬件補(bǔ)償法。目前使用的誤差補(bǔ)償方法主要是硬件誤差補(bǔ)償方法，該方法是通過開發(fā)以微處理器芯片為核心的誤差補(bǔ)償控制器及專用接口電路，向數(shù)控機(jī)床傳送空間點(diǎn)位誤差補(bǔ)償信息而達(dá)到誤差補(bǔ)償?shù)哪康摹?shù)控機(jī)床的基本功能模塊有數(shù)控系統(tǒng)、伺服單元、反饋環(huán)節(jié)。相應(yīng)的誤差補(bǔ)償器也分為三類：NC型、前饋補(bǔ)償型和反饋修正型。反饋修正控制器由美國技術(shù)和標(biāo)準(zhǔn)局的Rogel和D.Kilmer負(fù)責(zé)研究，并取得成功。該方法通過修正反饋的脈沖數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對三坐標(biāo)加工中心的空間誤差進(jìn)行修正。該方法雖不受數(shù)控系統(tǒng)類型的限制，但仍存在兩大弱點(diǎn)：其一是對每個軸的位置反饋環(huán)節(jié)必須加一套修整方案，成本高，不利于調(diào)試和維護(hù)；之二是反饋環(huán)節(jié)增加誤差修正環(huán)節(jié)改變了數(shù)控機(jī)床本身的機(jī)電動態(tài)特性。總體來說，誤差補(bǔ)償控制器對數(shù)控系統(tǒng)有很大的依賴型，由于數(shù)控系統(tǒng)、伺服系統(tǒng)的多樣性和封閉性，嚴(yán)重阻礙了該項(xiàng)技術(shù)的普及推廣。
與硬件補(bǔ)償法相對應(yīng)的是軟件補(bǔ)償方法，軟件誤差補(bǔ)償是通過修改數(shù)控加工代碼或者執(zhí)行補(bǔ)償指令來實(shí)現(xiàn)加工誤差的補(bǔ)償。這樣，采用軟件補(bǔ)償方法就可以在不對機(jī)床的機(jī)械部分做任何改變的情況下，使其總體精度和加工精度顯著提高。
1.2.1 幾何誤差建模技術(shù)研究現(xiàn)狀
數(shù)控機(jī)床空間誤差（幾何誤差、熱變形誤差和承載變形誤差）建模，是軟件誤差補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵技術(shù)之一[11，12]。關(guān)于幾何誤差建模的方法，一直是國內(nèi)外學(xué)者的研究的重點(diǎn)，先后經(jīng)歷了幾何建模法、誤差矩陣法、二次關(guān)系模型法、機(jī)構(gòu)學(xué)建模法、剛體運(yùn)動學(xué)法，多體系統(tǒng)理論建模法幾個階段[13]：
1977年，Schultschick 用矢量表達(dá)法建立了三軸坐標(biāo)鏜床的空間誤差模型；
1977年，Hocken用矩陣變換對坐標(biāo)測量機(jī)(CMM)進(jìn)行幾何誤差建模；
1986年，Donmez等人推導(dǎo)了機(jī)床的廣義誤差合成模型，該模型既考慮了幾何誤差，又考慮了熱誤差；
1992年，Chen得人在研究中去除了剛體運(yùn)動假設(shè)，可以對非剛體誤差進(jìn)行補(bǔ)償，而且通過標(biāo)準(zhǔn)其次坐標(biāo)變換方法建立了幾何誤差和熱誤差兩者的模型；
1993年，Kiridena等人用機(jī)構(gòu)學(xué)推導(dǎo)了五坐標(biāo)機(jī)床的空間幾何誤差模型；
2000年，Rahman等基于其次坐標(biāo)矩陣建立起多軸數(shù)控機(jī)床的準(zhǔn)靜態(tài)誤差綜合空間誤差模型，該模型還包含了幾何誤差、回轉(zhuǎn)軸誤差、熱誤差和機(jī)床部件彈性變形誤差。
在國內(nèi)，1994年天津大學(xué)章青博士利用多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)推到了任意結(jié)構(gòu)機(jī)床誤差建模方法；2003年北京那個工業(yè)大學(xué)的范晉偉教授使用多體系統(tǒng)理論推到三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床通用幾何誤差補(bǔ)償算法，該算法在北人印刷集團(tuán)實(shí)地試驗(yàn)取得明顯的誤差補(bǔ)償效果[14]。
由于機(jī)床機(jī)構(gòu)復(fù)雜，工況多變，加上環(huán)境因素的影響，熱變形誤差早已引起人們的注意，也是補(bǔ)償技術(shù)的難點(diǎn)之一[10]。幾何誤差和熱誤差是數(shù)控加工時的主要誤差源，占數(shù)控加工總誤差的70%左右。相對來說，幾何誤差比較穩(wěn)定也比較容易測量從而便于進(jìn)行補(bǔ)償，而熱誤差的補(bǔ)償卻不那么容易，因?yàn)闊嵴`差的產(chǎn)生是一個動態(tài)過程，具有非線性、時滯等特點(diǎn)，用傳統(tǒng)的方法很難對其進(jìn)行補(bǔ)償。
載荷誤差主要體現(xiàn)在大型或重型機(jī)床上，如鏜床的滑枕懸臂的下垂變形，龍門床主軸箱移動引起橫梁變形等。綜觀現(xiàn)有文獻(xiàn)，對誤差載荷的處理方法主要有兩種：一是在線測量法[15]，該方法是在機(jī)床的特定位置上安裝一些標(biāo)準(zhǔn)快，通過大量的實(shí)驗(yàn)擬合出載荷誤差與標(biāo)準(zhǔn)快的變形之間的關(guān)系，機(jī)床工作時通過測試在線檢測標(biāo)準(zhǔn)快的變形，利用擬合的數(shù)學(xué)關(guān)系間接的得到載荷變形誤差值。另一種是理論計(jì)算法，因?yàn)閿?shù)控機(jī)床的載荷變形主要表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)變形和結(jié)合面變形。結(jié)構(gòu)變形通常用有限元和邊界元等方法計(jì)算，結(jié)合面載荷變形通常用接觸變形理論來處理，利用大量的實(shí)驗(yàn)擬合影響結(jié)合面載荷變形的特性系數(shù)[16，17]。
本研究課題不考慮熱變形誤差及承載變形誤差，在只考慮幾何變形誤差條件下，對數(shù)控機(jī)床進(jìn)行建模。
1.2.2 軟件誤差補(bǔ)償技術(shù)研究現(xiàn)狀
國外軟件補(bǔ)償大體經(jīng)歷了一下的發(fā)展階段[18]：
1967 年，F(xiàn)rench 和 Humphries 提出在數(shù)控程序的編程階段解決數(shù)控機(jī)床的誤差補(bǔ)償問題；
1970 年，產(chǎn)生了以通用微機(jī)平臺和誤差修正算法軟件為主體的軟件誤差補(bǔ)償思想；
1977 年，由Hocken 等人首先提出了以微機(jī)平臺及數(shù)控指令修正算法為主體的軟件誤差補(bǔ)償思想，其著重應(yīng)用于坐標(biāo)測量機(jī)檢測數(shù)據(jù)的誤差修正，而在數(shù)控機(jī)床加工領(lǐng)域的應(yīng)用還不多見；
1985 年，G. Zhang 成功的對三坐標(biāo)測量機(jī)進(jìn)行了誤差補(bǔ)償。測量了工作臺平面度誤差，除在工作臺邊緣數(shù)值稍大，其它不超過1μm，驗(yàn)證了剛體假設(shè)的可靠性；
1994 年末，Kiridena 和P.M.Ferreira 在其長期從事的誤差補(bǔ)償研究與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)總結(jié)基礎(chǔ)之上，再次強(qiáng)調(diào)了軟件誤差補(bǔ)償?shù)闹匾裕⑦M(jìn)一步指出通過軟件誤差補(bǔ)償有可能獲得很高的補(bǔ)償精度；
1998-1999 年有關(guān)重復(fù)加工中，檢測己加工工件的誤差，進(jìn)而通過修正刀具路線的方法，提高待加工工件加工精度為內(nèi)容的軟件誤差補(bǔ)償技術(shù)文獻(xiàn)日益增多，反映出軟件誤差補(bǔ)償技術(shù)具有很強(qiáng)的發(fā)展趨勢；
在2000 年美國Michigan 大學(xué)Jun Ni 教授指導(dǎo)的博士生Chen Guiquan做了有意的嘗試，運(yùn)用球桿儀(TBB)對三軸數(shù)控機(jī)床不同溫度下的幾何誤差進(jìn)行了測量，建立了快速的溫度預(yù)報(bào)和誤差補(bǔ)償模型，進(jìn)行了誤差補(bǔ)償。
在我國應(yīng)用極其廣泛的是中低檔數(shù)控機(jī)床，幾何誤差約占機(jī)床總體誤差的70%左右，國內(nèi)學(xué)者對機(jī)床幾何誤差也進(jìn)行了深入研究：
1986 北京機(jī)床研究所開展了機(jī)床熱誤差和坐標(biāo)測量機(jī)的補(bǔ)償研究；
1997 年天津大學(xué)的李書和等進(jìn)行了機(jī)床誤差補(bǔ)償?shù)慕：蜔嵴`差補(bǔ)償研究；
1998 年天津大學(xué)的劉又午等采用多體系統(tǒng)建立了機(jī)床的誤差模型，給出了幾何誤差的22 線、14 線、9 線激光干涉儀測量方法，1999 年他們還對數(shù)控機(jī)床的誤差補(bǔ)償進(jìn)行了全面的研究，取得了可喜一定的成果；
1998 年上海交通大學(xué)的楊建國進(jìn)行了車床熱誤差補(bǔ)償?shù)难芯浚?br />
1996到2000年在國家自然科學(xué)基金和國家863計(jì)劃項(xiàng)目的支持下，華中科技大學(xué)開展了對數(shù)控機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償以及基于切削力在線辯識的智能自適應(yīng)控制的研究，并取得了一些成果；
在2003 年，北京工業(yè)大學(xué)范晉偉教授使用多體系統(tǒng)理論運(yùn)動學(xué)推導(dǎo)出三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床通用幾何誤差補(bǔ)償軟件，該軟件在北人印刷集團(tuán)實(shí)地實(shí)驗(yàn)取得明顯的誤差補(bǔ)償效果。
圖1.1 軟件誤差補(bǔ)償技術(shù)流程圖
這樣可以修正由于機(jī)床幾何運(yùn)動所引起的誤差，可以提高加工精度，當(dāng)然機(jī)床的加工精度還受到其他因素的影響，如刀具磨損、載荷、溫度、濕度等，但由于這些因素產(chǎn)生的誤差相對于機(jī)床的幾何運(yùn)動誤差還是較小的，本文提出的誤差補(bǔ)償方法的是機(jī)床幾何運(yùn)動誤差，對于其他因素的影響沒有考慮在內(nèi)。
自誤差補(bǔ)償技術(shù)問世以來，經(jīng)歷了傳統(tǒng)誤差補(bǔ)償、硬件誤差補(bǔ)償和目前日趨成熟的軟件誤差補(bǔ)償。傳統(tǒng)的誤差補(bǔ)償方法存在著設(shè)計(jì)周期長、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、笨拙、成本高、柔性差等問題，難以滿足單件、小批、靈活、多變的現(xiàn)代生產(chǎn)及市場競爭要求；而硬件補(bǔ)償法對數(shù)控系統(tǒng)又有很大的依賴性，由于數(shù)控系統(tǒng)的多樣性和封閉性，并且開發(fā)的控制器和接口電路會影響機(jī)床的機(jī)電匹配特性等問題，嚴(yán)重阻礙了該項(xiàng)技術(shù)的應(yīng)用與推廣；在這種背景下，人們逐漸開始重視軟件誤差補(bǔ)償法，該方法實(shí)現(xiàn)了“不使用精密加工設(shè)備的精密加工”，具有極高的性能價格比，已逐步發(fā)展成為當(dāng)今提高機(jī)床加工精度的主要方法。
1.3 主要研究內(nèi)容
本課題以如何提高數(shù)控機(jī)床加工精度為目的而展開的，主要針對三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床的誤差補(bǔ)償問題，研究一下幾個內(nèi)容：
1. 分析多體系統(tǒng)的建立方法，對多體系統(tǒng)進(jìn)行簡單的描述，并對多體系統(tǒng)的低序體陣列進(jìn)行補(bǔ)充，建立多體系統(tǒng)的運(yùn)動模型和誤差模型。
2. 數(shù)控機(jī)床是多體系統(tǒng)的一個特例，將多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論具體的應(yīng)用到數(shù)控機(jī)床的誤差建模中去，對機(jī)床的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析并且用機(jī)床結(jié)構(gòu)二叉樹來描述，建立不考慮幾何運(yùn)動誤差的數(shù)控機(jī)床多體系統(tǒng)通用模型，給出工件坐標(biāo)系和刀具坐標(biāo)系上的給定點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中實(shí)際位置的數(shù)學(xué)模型。
3．保證數(shù)控機(jī)床刀具中心的實(shí)際軌跡與待加工工件上的理論刀具中心軌跡完全一致，建立考慮幾何誤差影響的數(shù)控機(jī)床機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型，并且給出工件坐標(biāo)系和刀具坐標(biāo)系上的給定點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中實(shí)際位置的數(shù)學(xué)模型，同時建立了有誤差情況系的通用數(shù)控機(jī)床精密求解方程。
4．描述三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床的幾何誤差，建立了ZK7640三坐標(biāo)數(shù)控床的運(yùn)動模型，同時給出了該床的精密加工條件方程。
5．?dāng)?shù)控機(jī)床誤差分析軟件的程序總體設(shè)計(jì)
采用MATLAB軟件進(jìn)行編程，根據(jù)ZK7640數(shù)控床的精密加工條件方程，分析理想條件下已知刀具路線坐標(biāo)值求解數(shù)控指令坐標(biāo)值，已知數(shù)控指令坐標(biāo)值求解刀具實(shí)際軌跡，用迭代法求出精密加工數(shù)控指令坐標(biāo)值，最后具體分析數(shù)控指令坐標(biāo)值修正前后的加工誤差變化，同時繪制出相應(yīng)的仿真圖。
多體系統(tǒng)運(yùn)動模型和誤差模型的建立
2.1多體系統(tǒng)理論概述
多體系統(tǒng)理論是研究多體系統(tǒng)問題的一門科學(xué)，具有很好的通用性、系統(tǒng)性，尤其是電子計(jì)算機(jī)高速發(fā)展的今天，多體系統(tǒng)理論利用計(jì)算機(jī)程序和算法進(jìn)行復(fù)雜系統(tǒng)動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)的計(jì)算，滿足了經(jīng)典動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)理論不能解決的復(fù)雜問題分析計(jì)算的需要。多體系統(tǒng)是對工程實(shí)際中大量涌現(xiàn)的多個剛體或柔體通過某種形式聯(lián)結(jié)的工程對象的概括和抽象，是分析和研究機(jī)械系統(tǒng)的最優(yōu)模型形式。任何機(jī)械系統(tǒng)都可以通過概括、抽象，提煉成多體系統(tǒng)。多體系統(tǒng)理論已在機(jī)器人、多軸機(jī)床等機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析與控制中得到應(yīng)用。但是迄今眾多體系統(tǒng)理論流派均側(cè)重于多體系統(tǒng)動力學(xué)的研究，而對多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論的運(yùn)用研究多集中在理想剛體的運(yùn)動情況，未建立起實(shí)際條件下的多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論，這也在一定程度上阻礙了多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論的實(shí)際應(yīng)用。
2.2 多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的描述
多個物體通過沒有特定的形式連接起來就構(gòu)成多體系統(tǒng)。對多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)加以描述并建立多體系統(tǒng)的低序體陣列，是多體系統(tǒng)理論的基本問題。機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式多種多樣，如床身有立式、臥式、龍門式等，通過拓?fù)涞姆椒枋觯梢詫?fù)雜的結(jié)構(gòu)抽象成簡單的體的形式。圖2-1就是一個典型的多體系統(tǒng)，通過低序體陣列，可以將任何一個物體追溯到大地坐標(biāo)系中去。設(shè)慣性坐標(biāo)系為體，任選一體為體，然后沿遠(yuǎn)離體的方向，以增長數(shù)列標(biāo)定每個物體的序號，從系統(tǒng)的一個分支到另一個分支，直到全部物體標(biāo)定完為止，圖2-2是對圖2-1系統(tǒng)的編號的結(jié)果，令標(biāo)定腳碼與各數(shù)字對應(yīng)。
圖2-1 多體系統(tǒng)
圖2-2 對圖2-1多體系統(tǒng)的編號
可見除以外，每個物體都有一個相鄰的較低序號物體。當(dāng)推導(dǎo)運(yùn)動學(xué)和編制計(jì)算方法時，需要為系統(tǒng)中每個物體的較低序號物體制定一個表格，用表示，稱為“較低序號物體陣列”，表示物體的序號。令為待研究系統(tǒng)所在的參考系，把看作的較低序號物體，則的序號應(yīng)為0。
對圖2-2的系統(tǒng)，當(dāng)時，為
（2-1）
多體系統(tǒng)低序體陣列描述了開環(huán)多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。根據(jù)多體系統(tǒng)示意圖就能寫出反之，已知就能畫出多體系統(tǒng)示意圖。
圖2-2所示的多體系統(tǒng)的低序體陣列描述，見表2-1。
表2-1中為多體系統(tǒng)中典型體的序號，為典型體的n階低序體的序號，可表示為
（2-2）
式中 ——為低序體算子；n, k ——為正整數(shù)。
由式（2-2），典型體的相鄰低序體可表示為
（2-3）
且補(bǔ)充定義
（2-4）
（2-5）
表2-1 多體系統(tǒng)的低序體陣列
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 1 1 5 6 6 8
0 0 1 0 0 1 5 5 6
0 0 0 0 0 0 1 1 5
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
作為低序體陣列的補(bǔ)充，其他三種陣列在推導(dǎo)運(yùn)動學(xué)算法時也很有用。即“末端體陣列”、“分支體陣列”和“中間體陣列”。顧名思義，“末端”體即位于系統(tǒng)邊界點(diǎn)上的物體，“分支”體是含有多于一個分支的物體，即非末端體，又非分支體，稱為“中間”體。
在圖2-2中的多體系統(tǒng)，末端體為、、 ，沒有相鄰更高體序號物體的那些物體即可判斷為末端體，所以，末端體是表2-1中那一行沒有列出的物體。在圖2-2中，分支體為和，凡是有一個以上相鄰更高序號物體的那些物體即可判別為分支體，所以，分支體是表2-1中那一行有重復(fù)序號的那些體。在圖2-2中，中間體為、和，與末端體和分支體一樣，也可由對行的檢查而確定中間體，即中間體是在表2-1中那一行出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次的物體。
2.3 多體系統(tǒng)中典型體的物理描述
圖2-3 理想情況多體系統(tǒng)中的典型體及其相鄰低序體
多體系統(tǒng)中的典型體及相鄰體（）如圖2-3所示。體的運(yùn)動參考點(diǎn)為，它固定在上，其相對于原點(diǎn)用固連在體上的位置矢量描述。用相對于的位移矢量描述體相對于體的相對移動。在和體上分別固連了動坐標(biāo)系：，，和：，，，分別稱為體參考坐標(biāo)系和體參考坐標(biāo)系，則稱右旋正交基矢組、、相對于右旋正交基矢組、、的變化就表示了體相對于體的轉(zhuǎn)動。令變換矩陣的各元素分別為
（m，n=1，2，3） （2-6）
則右旋正交基矢組、、相對于右旋正交基矢組、、的關(guān)系表達(dá)為：
（2-7）
變化矩陣描述了相鄰體參考坐標(biāo)系間的相互變換關(guān)系，稱之為相鄰體變換矩陣。
2.4 多體系統(tǒng)運(yùn)動模型的建立
運(yùn)動學(xué)方程可分為：零級運(yùn)動方程（描述位置和姿勢），一級運(yùn)動方程（描述速度和角速度），二級運(yùn)動方程（描述加速度和角加速度），和高級運(yùn)動方程（描述躍變和角躍變，即加速度的導(dǎo)數(shù)和角加速度的導(dǎo)數(shù)）。由于零級運(yùn)動方程在制造系統(tǒng)運(yùn)動誤差分析中占有突出的地位，所以下面研究零級運(yùn)動學(xué)方程。
根據(jù)圖2-3，可得在慣性系中的矢量表達(dá)
（2-8）
式中： ——依照低序體陣列求和，且；
——含分支內(nèi)任意體的位置矢量和位移矢量；
如令為體相對于R的變換矩陣，由于變換矩陣遵循傳遞法則，故有
（2-9）
式中：表示按低序體陣列連乘，且
典型體位置方程的矩陣表達(dá)式為：
（2-10）
式中： 為體參考點(diǎn)在參考系R中的位置矢量的分量陣列表達(dá)式；
，為和在中的分量陣列；
體上任意點(diǎn)P在R中的表達(dá)式為：
（2-11）
2.5 多體系統(tǒng)誤差模型的建立
在有誤差的情況下，多體系統(tǒng)理論理想表達(dá)式就不能準(zhǔn)確的描述多體系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)。為了達(dá)到精度控制的目的，必須建立與誤差條件相適應(yīng)的新的多體系統(tǒng)的位置表達(dá)式。考慮誤差后，相鄰體相對運(yùn)動示意圖如圖2-4所示。當(dāng)位移為零，誤差為零時，與重合。表示原點(diǎn)和原點(diǎn)間初始位置矢量，表示位置誤差矢量。表示相對于的位移矢量，表示位移誤差矢量。當(dāng)數(shù)控機(jī)床部件發(fā)生位移時，位移既是位置增量。在位置矢量和位移量之間點(diǎn)增設(shè)一個坐標(biāo)系，并將改寫成，且定義為位置坐標(biāo)系，為位移坐標(biāo)系。
圖2-4 有誤差時多體系統(tǒng)中典型體及其相鄰低序體
依圖，根據(jù)矢量關(guān)系，可知
（2-12）
（2-13）
如不考慮方位誤差,可得
（2-14）
式中 ——與相對位移間的方位變換矩陣；
——與相對位置間的方位變換矩陣，如式(2-15)；
（2-15）
式中 C——cos；
S——sin；
,,——相對于的相對位置變換矩陣卡爾丹角。
令,,表示位置方位誤差。由于數(shù)控機(jī)床是較精密的設(shè)備，,,都是一個較小的值，可近似的取,,其余類推。故位置方位誤差矩陣可簡化為
（2-16）
又知，體相對于體的運(yùn)動形式有平動和轉(zhuǎn)動。當(dāng)為平動時，位移變換矩陣為單位陣
體相對于體的轉(zhuǎn)動主要有三種情況，繞的x軸轉(zhuǎn)動α、繞體的y軸轉(zhuǎn)動β以及繞體的z軸轉(zhuǎn)動γ。與其相對應(yīng)的變換矩陣分別是
如令表示位移方位誤差，當(dāng)方位誤差很小時，可取其余類推。則位移的方位誤差矩陣可表示為
（2-17）
當(dāng)存在方位誤差時，根據(jù)傳遞關(guān)系，則有
（2-18）
考察典型體上任意點(diǎn)（如圖2-4所示），其在參考系中的位置方程為
（2-19）
2.6 本章小結(jié)
多體系統(tǒng)是對工程實(shí)際中大量涌現(xiàn)的多個剛體或柔體通過某種形式聯(lián)結(jié)的工程對象的概括和抽象，是分析和研究機(jī)械系統(tǒng)的最優(yōu)模型形式。任何機(jī)械系統(tǒng)都可以通過概括、抽象，提煉成多體系統(tǒng)。本章對多體系統(tǒng)進(jìn)行了概括，描述了多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，對多體系統(tǒng)中的典型體進(jìn)行了物理描述，建立了多體系統(tǒng)的運(yùn)動模型和誤差模型，為三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動和誤差模型的建立做了理論準(zhǔn)備。
三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動模型與誤差模型建模
3.1 數(shù)控機(jī)床結(jié)構(gòu)描述
數(shù)控機(jī)床由床身、工作臺、溜板箱、主軸箱和刀具等組成，為了建立通用的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動模型，對各種數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)進(jìn)行總體概括、分析與抽象是必不可少的工作。經(jīng)過對常用的數(shù)控機(jī)床分析，可將機(jī)床機(jī)構(gòu)歸結(jié)為兩條運(yùn)動鏈：一條為“工件——機(jī)架”運(yùn)動鏈，另一條為“刀具——機(jī)架”運(yùn)動鏈。從工件（工作臺）到機(jī)架之間的運(yùn)動鏈為“工件——機(jī)架”運(yùn)動鏈，由m個運(yùn)動副串聯(lián)而成；從刀具（主軸）到機(jī)架之間的運(yùn)動鏈為“刀具——機(jī)架”運(yùn)動鏈，由n個運(yùn)動副串聯(lián)而成。在進(jìn)一步分析可知，數(shù)控機(jī)床各運(yùn)動部件之間只有單自由度的相對運(yùn)動并且有三種約束類型，分別為剛性聯(lián)接、銷型（回轉(zhuǎn)）和棱柱型（平移）。因此，數(shù)控機(jī)床只是一類特殊的多體系統(tǒng)，且為開環(huán)多體系統(tǒng)，它沒有超出一般多體系統(tǒng)的研究的范圍，可以用多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論來建立三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動模型與誤差分析模型。
為了對數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理、清楚的表達(dá)，這里采用有源二叉樹來描述（如圖3-1所示）。圖中左半部代表“刀具——機(jī)架”運(yùn)動鏈，右半部代表“工件——機(jī)架”運(yùn)動鏈，左右兩運(yùn)動鏈用包含轉(zhuǎn)軸和線性軸的二叉樹表示，通過分別在左右兩運(yùn)動鏈內(nèi)選擇轉(zhuǎn)軸和線性軸的不同組合形式，可構(gòu)成不同的數(shù)控機(jī)床。該樹的每個中節(jié)點(diǎn)有一個前驅(qū)節(jié)點(diǎn)和兩個后繼節(jié)點(diǎn)，樹葉節(jié)點(diǎn)僅有一個前驅(qū)節(jié)點(diǎn)沒有后繼節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)代表了機(jī)床的不同運(yùn)動部件。樹根節(jié)點(diǎn)無前驅(qū)節(jié)點(diǎn)，僅有兩個后繼節(jié)點(diǎn)，樹根幾點(diǎn)代表了機(jī)床床身，它的兩個后繼節(jié)點(diǎn)分別描述了刀具分支及工作臺分支這一屬性。除樹根節(jié)點(diǎn)以外的其他節(jié)點(diǎn)，與去后續(xù)節(jié)點(diǎn)的連接，均描述了其后續(xù)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動屬性，如回轉(zhuǎn)及回轉(zhuǎn)方向或平移及平移方向。這樣，通過這一形象且簡單的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用戶可以很方便的準(zhǔn)確定義其所使用的數(shù)控機(jī)床。
圖3-1 機(jī)床結(jié)構(gòu)二叉樹描述
3.2 數(shù)控機(jī)床通用運(yùn)動模型的建立
數(shù)控機(jī)床是一類僅有兩個分支的特殊多體系統(tǒng)，體與體之間的鏈接用到單自由度的平移和銷鏈接。雖然數(shù)控機(jī)床一般最多只有五個運(yùn)動部件，但這五個運(yùn)動部件的運(yùn)動形式以及各部件處于哪個分支卻十分靈活多變，為給出各種數(shù)控機(jī)床的通用運(yùn)動模型，特提出如圖3-2所示的多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型。
圖3-2中共有兩個分支，每個分支各含有五個運(yùn)動體，相鄰體間均以六個相對自由度來建模。該模型應(yīng)用于具體的數(shù)控機(jī)床時，將根據(jù)上述數(shù)控機(jī)床二叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，將多體系統(tǒng)中多余的物體參數(shù)約束為零，從而達(dá)到具體數(shù)控機(jī)床的準(zhǔn)確描述。
圖3-2 不考慮幾何誤差的數(shù)控機(jī)床多體系統(tǒng)通用模型
在圖3-2的模型中，“工件—機(jī)架”運(yùn)動鏈B—W由如下體鏈接而成： ，其中為5個運(yùn)動體，相鄰體之間的運(yùn)動為平動或者轉(zhuǎn)動；“刀具—機(jī)架”運(yùn)動鏈B—T，由如下體鏈接而成：，其中為5個運(yùn)動體，相鄰體之間的運(yùn)動為平動或者轉(zhuǎn)動。
根據(jù)多體系統(tǒng)理論，在無誤差情況下，典型體上點(diǎn)P在慣性坐標(biāo)系R中的位置可表示為：
(3-1)
式中 ——不考慮誤差情況下，典型體體坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的實(shí)
際變換矩陣，可表示為：
式中 ——理想情況下，低序體分支中體的運(yùn)動參考坐標(biāo)系相對于體
的體參考坐標(biāo)系變化矩陣；
——理想情況下，低序體分支中體的體參考坐標(biāo)系相對于其體運(yùn)
動參考坐標(biāo)系的變化矩陣；
由以上分析可以得出，對于圖3-2的模型中“工件—機(jī)架”運(yùn)動鏈，典型體W（工件）體坐標(biāo)系上給定點(diǎn)P在慣性坐標(biāo)系中的實(shí)際位置表示為：
(3-2)
式中 ——典型體（工件）坐標(biāo)系中給定點(diǎn)P在慣性坐標(biāo)系R中的位置列陣；
——典型體（工件）坐標(biāo)系上給定點(diǎn)P在工件坐標(biāo)系中的位置陣列；
——不考慮誤差情況下典型體W體坐標(biāo)系相對慣性坐標(biāo)系的變換陣
(3-3)
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