淺談數學正弦定理、余弦定理的應用
教學目標 知識目標：
(1)學生通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦、余弦定理的內容及其證明方法;會運用正、余弦定理與三角形內角和定理，面積公式解斜三角形的兩類基本問題。
(2)學生學會分析問題，合理選用定理解決三角形綜合問題。
能力目標：
培養學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力，培養學生合情推理探索數學規律的數學思維能力。
情感目標：
通過生活實例探究回顧三角函數、正余弦定理，體現數學來源于生活，并應用于生活，激發學生學習數學的興趣,并體會數學的應用價值，在教學過程中激發學生的探索精神。
教學方法 探究式教學、講練結合
重點難點 1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇;
2、正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。
教學策略 1、重視多種教學方法有效整合;
2、重視提出問題、解決問題策略的指導。
3、重視加強前后知識的密切聯系。
4、重視加強數學實踐能力的培養。
5、注意避免過于繁瑣的形式化訓練
6、教學過程體現“實踐→認識→實踐”。
設計意圖：
學生通過必修5的學習，對正弦定理、余弦定理的內容已經了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關系轉化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過復習提點有待進一步理解和掌握。作為復習課一方面要將本章知識作一個梳理，另一方面要通過整理歸納幫助學生學會分析問題，合理選用并熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問題和實際應用問題。
數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數學知識的理解和掌握。雖然是復習課，但我們不能一味的講題，在教學中應體現以下教學思想：
⑴重視教學各環節的合理安排：
在生活實踐中提出問題，再引導學生帶著問題對新知進行探究，然后引導學生回顧舊知識與方法，引出課題。激發學生繼續學習新知的欲望，使學生的知識結構呈一個螺旋上升的狀態，符合學生的認知規律。
⑵重視多種教學方法有效整合，以講練結合法、分析引導法、變式訓練法等多種方法貫穿整個教學過程。
⑶重視提出問題、解決問題策略的指導。
⑷重視加強前后知識的密切聯系。對于新知識的探究,必須增加足夠的預備知識,做好銜接。要對學生已有的知識進行分析、整理和篩選，把對學生后繼學習中有需要的知識選擇出來，在新知識介紹之前進行復習。
⑸注意避免過于繁瑣的形式化訓練。從數學教學的傳統上看解三角形內容有不少高度技巧化、形式化的問題，我們在教學過程中應該注意盡量避免這一類問題的出現。
二、實施教學過程
(一) 創設情境、揭示提出課題
引例：要測量南北兩岸A、B兩個建筑物之間的距離，在南岸選取相距A點 km的C點，并通過經緯儀測的 ，你能計算出A、B之間的距離嗎?若人在南岸要測量對岸B、D兩個建筑物之間的距離，該如何進行?
(二) 復習回顧、知識梳理
1. 正弦定理：
正弦定理的變形：
(1)
(2) ; ;
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題.
(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角;
(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.(從而進一步求出其他的邊和角)
2.余弦定理：
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2cacosB;
c2=a2+b2-2abcosC.
cosA= ;
cosB= ;
cosC=.
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：
(1)已知三邊，求三個角;
(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.
3.三角形面積公式：
(三) 自主檢測、知識鞏固
1. ;
2.
3.
(四) 典例導航、知識拓展
【例1】 △ABC的三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a2=b(b+c)，求證：A=2B.
剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.
證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b(b+c)中，得sin2A=sinB(sinB+sinC) sin2A-sin2B=sinBsinC
因為A、B、C為三角形的三內角，所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B，即A=2B.
評述：利用正弦定理，將命題中邊的關系轉化為角間關系，從而全部利用三角公式變換求解.
思考討論：該題若用余弦定理如何解決?
【例2】已知a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C所對的邊，
(1) 若△ABC的面積為，c=2,A=600,求邊a,b的值;
(2) 若a=ccosB,且b=csinA,試判斷△ABC的形狀。
(五) 變式訓練、歸納整理
【例3】已知a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C所對的邊，若bcosC=(2a-c)cosB
(1) 求角B
(2) 設,求a+c的值。
剖析：同樣知道三角形中邊角關系，利用正余弦定理邊化角或角化邊，從而解決問題，此題所變化的是與向量相結合，利用向量的模與數量積反映三角形的邊角關系，把本質看清了，問題與例2類似解決。
此題分析后由學生自己作答，利用實物投影集體評價，再做歸納整理。
(解答略)
課時小結(由學生歸納總結，教師補充)
1. 解三角形時，找三邊一角之間的關系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關系常用正弦定理
2. 根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角;②化角為邊.并常用正余弦定理實施邊角轉化。
3. 用正余弦定理解三角形問題可適當應用向量的數量積求三角形內角與應用向量的模求三角形的邊長。
4. 應用問題可利用圖形將題意理解清楚，然后用數學模型解決問題。
5. 正余弦定理與三角函數、向量、不等式等知識相結合，綜合運用解決實際問題。
課后作業：
材料三級跳
創設情境，提出實際應用問題，揭示課題
學生在探究問題時發現是解三角形問題，通過問答將知識作一梳理。
學生通過課前預熱1.2.3.的快速作答，對正余弦定理的基本運用有了一定的回顧
學生探討
知識的關聯與拓展
正余弦定理與三角形內角和定理，面積公式的綜合運用對學生來說也是難點，尤其是根據條件判斷三角形形狀。此處列舉例2讓學生進一步體會如何選擇定理進行邊角互化。
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