導數在經濟中應用的論文

時間：2024-09-07 12:33:48 經濟畢業論文

導數在經濟中應用的論文

　　【摘要】導數在經濟領域中的應用非常廣泛，特別是在微觀經濟學中有很多具體的例子。掌握導數的基本概念和經濟中常見函數的概念非常重要，把經濟學中很多現象進行分析，歸納到數學領域中，用我們所學的數學知識進行解答，對很多經營決策者起了非常重要的作用。

導數在經濟中應用的論文

　　【關鍵詞】導數；變化率；邊際；邊際分析

　　高等數學的主要內容是微積分，微分學則是微積分的重要組成部分，而導數又是微分學中的基本概念之一，所以學習導數的概念并熟練掌握導數的應用尤為重要。導數的應用范圍頗為廣泛，比如在物理學中的應用，在工程技術上的應用，在經濟學中的應用等等，今天我們就導數在經濟中的應用略做討論。

　　一、導數的概念

　　從數量關系而言，導數反映函數的自變量在變化時，相應的函數值變化的快慢程度——變化率（瞬時變化率）。從數學表達式而言，研究的是函數的增量與自變量的增量比的極限問題。

　　函數y=f(x)在某一點x0的導數表達式如下：

　　若函數y=f(x)在某區間內每一點都可導，則稱y=f(x)在該區間內可導，記f′(x)為y=f(x)在該區間內的可導函數（簡稱導數），表達式如下：

　　二、經濟中常用的函數

　　導數在經濟領域中的應用，主要是研究在這一領域中出現的一些函數關系，因此必須了解一些經濟分析中常見的函數。

　　（一）價格函數

　　一般說來，價格是銷售量的函數。生活中隨處可見，買的東西越多，消費者砍價的幅度就可以大些。例如：某批發站批發1000只杯子給零售商，批發定價是20元，若批發商每次多批發200只杯子，相應的批發價格就降低1元，現在批發站杯子的存貨只有2000只，最小的銷量是1000只，求價格函數。

　　（二）需求函數

　　作為市場上的一種商品，其需求量受到很多因素影響，如商品的市場價格、消費者的喜好等.為了便于討論，我們先不考慮其他因素，假設商品的需求量僅受市場價格的影響。即

　　Q=f(p)

　　其Q中表示商品需求量，p表示商品市場價格。

　　例如：某廠家從促進消費的需求考慮，對某空調的價格從3000元/臺降到2500元/臺，相應的需求量從3000臺增到5000臺，求需求函數。

　　（三）成本函數

　　成本包括固定成本和變動成本兩類.固定成本是指廠房、設備等固定資產的折舊、管理者的固定工資等，記為C0。變動成本是指原材料的費用、工人的工資等，記為C1。這兩類成本的總和稱為總成本，記為C，即

　　C=C0+C1

　　假設固定成本不變（C0為常數），變動成本是產量q的函數（C1=C1（q)），則成本函數為C=C（q)=C0+C1（q)。

　　（四）收益函數

　　在商業活動中，一定時期內的收益，就是指商品售出后的收入，記為R.銷售某商品的總收入取決于該商品的銷售量和價格。因此，收入函數為

　　R=pq

　　其中q表示銷售量，p表示價格。

　　（五）利潤函數

　　利潤是指收入扣除成本后的剩余部分，記為L.

　　L=R-C

　　其中R表示收入，C表示成本。

　　總收入減去變動成本稱為毛利潤，再減去固定成本稱為純利潤。

　　三、導數在經濟分析中的應用舉例

　　導數是函數關于自變量的變化率，在經濟學中，也存在變化率的問題，因此我們可以把微觀經濟學中的很多問題歸結到數學中來，用我們所學的導數知識加以研究并解決。

　　在此我們就經濟學中的邊際和邊際分析問題加以稍作討論。

　　邊際概念表示當x的改變量△x趨于0時y的相應改變量△y與△x的比值的變化，即當x在某一給定值附近有微小變化時y的瞬時變化。

　　若設某經濟指標y與影響指標值的因素x之間成立函數關系式y=f(x)，則稱導數f′(x)為f(x)的邊際函數，記作My。隨著y，x含義不同，邊際函數的含義也不一樣。

　　設生產某產品q單位時所需要的總成本函數為C=C(q)，則稱MC=C′(q)為邊際成本。邊際成本的經濟含義是：當產量為q時，再生產一個單位產品所增加的總成本為C′(q)。

　　類似可定義其它概念，如邊際收入，邊際產量，邊際利潤，邊際銷量等等。

　　經濟活動的目的，除了考慮社會效益，對于一個具體的公司，決策者更多的是考慮經營的成果，如何降低成本，提高利潤等問題。

　　例1某種產品的總成本C（萬元）與產量q（萬件）之間的函數關系式（即總成本函數）為

　　C=C(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3

　　求生產水平為q=10（萬件）時的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看，繼續提高產量是否合適？

　　解當q=10時的總成本為

　　C(10)=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130（萬元）

　　所以平均成本（單位成本）為C(10)÷10=130÷10=13（元/件）

　　邊際成本MC=C′(q)=4-0.4q+0.03q2

　　MC│q=10=4-0.4×10+0.03×102=3（元/件）

　　因此在生產水平為10萬件時，每增加一個產品總成本增加3元，遠低于當前的單位成本，從降低成本角度看，應該繼續提高產量。

　　例2某公司總利潤L（萬元）與日產量q（噸）之間的函數關系式（即利潤函數）為L=L(q)=2q-0.005q2-150

　　試求每天生產150噸，200噸，350噸時的邊際利潤，并說明經濟含義。

　　解邊際利潤ML=L′(q)=2-0.01q

　　ML│q=150=2-0.01×150=0.5；

　　ML│q=200=2-0.01×200=0；

　　ML│q=350=2-0.01×350=-1.5

　　從上面的結果表明，當日產量在150噸時，每天增加1噸產量可增加總利潤0.5萬元；當日產量在200噸時，再增加產量，總利潤已經不會增加；而當日產量在350噸時，每天產量再增加1噸反而使總利潤減少1.5萬元，由此可見，該公司應該把日產量定在200噸，此時的總利潤最大為：L(25)=2×200-0.005×2002-150=50（萬元）

　　從上例可以發現，公司獲利最大的時候，邊際利潤為零。

　　例3某公司生產某產品的成本函數和收入函數依次為，C(q)=3000+200q+(1/5)q2，R(q)=350q+(1/20)q2，其中q為產品的月產量，每月的產品均能全部銷完，求利潤最大的月產量應為多少？

　　解L(q)=R(q)-C(q)

　　=350q+(1/20)q2-3000-200q-(1/5)q2

　　=150q+(3/20)q2-3000(q>0)

　　L′(q)=150-(3/10)q

　　令L′(q)=0，得q=500

　　列表考查

　　由表格可以看出在(0,+∞)內只有一個極大值點，且L(q)是一個二次函數，根據生活中的實際規律可得，它就是最大值點。

　　所以，當月產量為500生產單位時，利潤最大。

　　從上例我們可以證明，利潤最大的必要條件是邊際收入等于邊際成本。

　　即由L′(q)=0，且L(q)-C(q)

　　得L′(q)=R′(q)-C′(q)=0，即R′(q)=C′(q),

　　MR=MC

　　例4某企業生產過程中需使用某種原材料。到外地采購一次這種原材料，要開銷采購人員的工資、旅差費、手續費、運輸費、檢驗費等，但每次采購的總的采購費用基本相同。原材料被采購回來后，除了被使用外，存放在倉庫里，要開銷保管費用，保管費用通常是采購批量、采購價格、保管費率三者乘積的一半，試求總費用最小的采購批量。

　　解設每年使用原材料的總量為Q，每次采購的批量為q，每次采購費用為k，則年采購次數為(Q/q)，每年的采購費用為(Q/q)×k。

　　又設該原材料的價格為p，保管費率是i，則庫存費用為(1/2)·q·p·i，因此總費用為

　　C(q)=(Q/q)·k+(1/2)·q·p·i

　　求導得C′(q)=-(Q/q)·k+(1/2)p·i，令C′(q)=0，得。

　　這是所求的唯一值，根據生活的實際情況定有最小值，這唯一的點就是最小值點，所以當每次采購批量為時，總費用最小。

　　上例的結果，是理想化的瞬時送貨的最佳庫存模型，這個模型被廣泛地應用于生產實際。

　　下面我們看實際的例子。

　　例5某企業生產使用某原材料100噸/年，每次采購的費用是1000元，每噸原材料的年庫存費（材料價格與保管費率之積）為500元，如果材料消耗是均勻的，問應分幾批采購，使總費用最小？

　　解設每次采購原材料q噸，則總費用為

　　C(q)=(100/q)·1000+(1/2)·q·500

　　C′(q)=-(100000/q2)+(1/2)500

　　令C′(q)=0，得（噸）