數學技術、信息技術與數學課程整合
【摘要】數學技術是信息技術的技術支撐點，是信息技術發展的關鍵技術，信息技術為促進數學及數學技術的進步與發展提供了便利的平臺。而在信息技術條件下，數學課程發生了一些實質性的變化，主要表現為數學課程理念、數學內容選取、數學教學與信息技術的整合。
【關鍵詞】數學技術；信息技術；數學課程
一、數學技術——信息技術的技術支撐點
技術就是運用知識、工具和技能解決、探索一些實際問題，用以擴展人的能力的手段與方法體系之和。技術是一個技術性過程，它是人們在做、制造和實施的不斷演化過程中提高技術水平、發揮技術功效（美國2061計劃）；技術是人們認識世界和認識自我的一種體現，它是隨著人類社會的進步而不斷進步，是人類文明的基本象征，也是推動歷史發展的一種動力源。從古代的鉆木取火技術、近代的蒸汽機技術，到今天的信息社會中的信息技術，從擴充人的體力的技術到如今擴充人的腦力的技術，無不體現出技術的價值和它所承載的人類智慧。綜觀技術的發展，人類為了更好地生存與發展，創造了許許多多的技術，它們或多或少都與數學的發展有著不可分割的聯系，可以說是相生相伴。人類最初掌握的比較完善的技術之一可以說是記數技術，從幾萬年前的刻痕記數（以樹干、骨頭為物質載體，把數刻在其上記事）、結繩記數（用草繩打結記事）、石子記數、手指記數，到近代用的紙筆記數、現代的計算機計數，這些記數方法的不斷改進與演化已經形成了今天相當完善的記數制與計算技術。這些計算技術也就成為數學技術的主體，而承擔其實施的載體就是電子計算機。現代計算機就是神奇的0與1的組合體。要是沒有德國數學家萊布尼茨（1646～1716）發明的二進制，也就不可能有今天計算機的出現。正是由于數學以它驚人的特性與人類的發展息息相關，以獨特的身份介入技術的發展并融入其中，而且以它的精確性和內在美體現出它在方方面面的有效性，那么數學也就理所當然地成為關鍵技術的關鍵，成為信息技術的支撐點。
數學技術一般指實現數學運算、推理、應用的信息技術，它總是伴隨著數學的進步而進步。數學的原理、思想、方法與技術結合而形成的數學技術本質上就是一種高科技。離開了數學技術，信息技術將成為無源之水，也就談不上發展了。
數學技術是數學與技術以靈巧方式組合而成的二者不可分割的和諧整體。從某種角度講，數學上的每一次重大的發展和突破都是技術（當然包括科學）有大的發展與進步的前奏，而事實是數學的發展往往超前于重大技術的發現而走在前面。數學的追求與技術（科學）發展的目標是相一致的，都追求簡單、清晰、方便、可操作、易于掌握。其實，現階段數學總是任何計算機仿真的核心，數學通過對復雜現象的仿真建模，借助計算機對數據流進行縮成和可視化，將有助于人們把事情做得更好、更快、更安全、更便利。數學技術正在以不同的形態廣泛地應用于現實生活世界的各個方面。檢查身體的CT掃描技術，車輛、飛機的模擬、設計和控制技術，金融證券價值的估算技術，天氣和氣象的預測技術，電子設計自動化以及生物工程等技術，其核心都是數學技術。數學技術正是依附于計算機來顯現它的威力，而計算機正是依靠數學技術得以工作與革新換代。
“信息技術是指對信息進行采集、傳輸、存儲、加工、交流、應用的手段和方法的體系。”信息技術按表現形態的不同分為硬技術與軟技術，前者指各種信息設備，即一種物化形態的技術；后者指有關信息獲取與處理的各種知識、方法與技能，即一種智能形態的技術。前者就是將人類的一切信息都以計算機語言的0或1的二進制來表達，這是人類文明在數學基礎上的一次史無先例的科學整合，是影響人類生存和發展的巨大科學成就，而最具代表性的計算機的設計者就是20世紀最著名的數學家馮·諾依曼；后者所指的信息獲取與處理的知識、方法、技能都是與數學技術密不可分的，從某種程度上看，就是數學化的過程。由此可見，數學技術是信息技術中最為關鍵的技術，是信息技術的技術支撐點。
二、信息技術——數學及數學技術發展與應用的平臺
現代信息技術的發展、應用，把數學以技術化的方式快速地傳送到人們日常生活的各個領域，使得數學對科學、技術、社會的發展起到了更加巨大的推動作用，同時也促使數學技術的不斷發展。數學技術的發展使得圖形計算器、數學軟件的功能增長，用于計算、解方程、繪圖像、解微積分方程、因式分解、數據統計、數值計算、符號演算、機器證明、圖形演示以及進行思維實驗都能以更加簡潔快捷的方式進行，而且使得計算機的驗證功能、編程功能、聯網功能更加強大。由于數字化經濟、數字信息處理以及大量的探索性數據分析、觀察、實驗、模擬與計算技術密不可分，因而數學就同時具有科學和技術的雙重身份，這也就從某一側面反映了數學的實質性內涵。由于計算機的發展，使人們可以解決非常復雜的非線性問題，已經超越了常規解決問題的方法，利用計算機的支撐能揭示本來數學的現象，能給數學以強大的推動力，計算機不僅為數學應用提供了解答，而且賦予人們以靈感和直覺，數學實驗室軟件能夠動態地揭示知識的構造，并形象地對數學知識進行表述，而且能動態地呈現問題產生的過程，并自動解決，相互推理。計算機的應用對數學家而言猶如望遠鏡對于天文學家、顯微鏡對生物學家，給數學家進行數學研究和創造提供了銳利的武器。
信息技術為數學的發展注入了活力，在計算機面前由于好多知識變成動態化，可以激發人們對數學的熱愛，引發人們展開想像的翅膀不斷思索與追求，使得數學以與以往不同的形態——可視化、快捷化、人文化而展現在人們面前。由于計算機的影響，數學正在加速改變著它的內容、結構和方法，也加速改變著人們對數學的理解方法，這是因為幾何現象的實驗成為可能，從數學上看，迄今為止代數的表現形式在書寫表示方面有非常有利的一面，幾何不是記號，而僅僅是你頭腦中的某個幾何對象——圖形，表現的是更為抽象和復雜的數學概念，借助計算機就可以傳送出比現在更多、更豐富的幾何內容，如可以展現一些分形模型、一些動態的復雜曲線等。用計算機進行科學計算是計算機最為基本的功能，它可以在很短的時間內收集和處理大量的數據，作出判斷，形成公式，構建理論；計算機可用于作數學實驗，如火箭發射、核彈爆炸、軍事演示、飛機汽車橋梁設計等都是借助計算機進行實驗的；計算機同時還可以進行數學證明，如四色定理在1976年被兩位美國數學家用計算機予以證明，我國數學家吳文俊也在計算機上用代數方法證明了歐氏幾何已知的一切定理。
數學是一個非常美的領域，這是因為數學的主要部分是由人類的心靈構成的。你可以自由探索自己心目中的數學世界，正是這種自由探索才是數學美的力量所在。計算機技術為數學這種美的展現提供了一個豐富的平臺，給人們以豐富的探索與實驗空間。數學是對現實世界的一種思考、描述、刻畫、解釋、理解，其目的是發現現實世界中所蘊藏的一些數與形的規律，為社會的進步與人類的發展服務。正是有了信息技術，加快了人類認識自然與人類自身的速度與質量，基因工程就是一個典型的例題。在信息技術條件下，許多新的數學思想與方法不斷突破，數學結構與內容的不斷豐富，一些新的學科——近代數學技術、運籌優化、工程自控、信息論、數理統計、計算機科學、模糊識別等也就應運而生。計算機與數學的結合，使得數學開拓了研究領域，成為數學探索的新平臺。
數學家們總是用他們的思想眼光來審視出現于數學研究所有領域中的抽象的目標與過程。計算機技術的巨大進步已經使得把這些模糊、主觀和只能在頭腦中想像的抽象的對象、目標、過程外在化而變得很容易，也就是用精確、客觀和其他人可以共享的可視化來表現、演示，從而使思維及過程視覺化。數學對象可以用計算機來表示、展現，從而使人們對數學對象產生新的認識，由靜到動、構形、成形，進而進行操作、實驗，特別是幾何對象——曲線、曲面、多面體，而成為任何計算機仿真的核心。在計算機環境下，人們更多的是用漸近方法、數值方法去探究數學規律，進行建模和科學計算。如利用計算機可以對進行小數點幾十億位以后的計算，用來檢驗人類的智慧水平。同樣好多在數學領域無法實現的一些設想在計算機環境下正在不斷實現，如幾千年來人們夢想的數學定理的機器證明的實現就是一個極具代表性的例證。由于計算機的介入使得數學的應用與普及不斷深入，已逐漸滲透到各個學科，取得了驚人的成績，數學價值與功能的不斷挖掘促使人們對數學的認識更加全面深刻。
三、信息技術——教學課程整臺的助推器
隨著21世紀的到來，以計算機和互聯網為代表的當代信息技術，正在以驚人的速度改變著人們的生存方式和學習方式，也迫切需要我們改變教育方式。為了迎接信息技術的挑戰，為了中華民族的復興，為了每位學生的發展，新一輪基礎教育課程改革正在全面展開。正是由于數學、數學教育與信息技術有著天然的不可分割的依存關系，那么在當前基礎教育課程改革的新形勢下，數學課程的改革就顯得意義更加深遠和重大。現代信息技術的發展一方面為數學教育的普及與傳播提供了得天獨厚的土壤，另一方面也對數學教育的價值、目標、內容以及學與教的方式產生了重大的影響。數學課程改革要反映信息技術所引發的變革，就必須在數學課程理念、數學課程的設計與實施中與信息技術進行整合。
1．信息技術與教學課程理念的整合
理念是理性化的一些觀念，具有穩定性、長效性、持續性、指導性。形成正確的數學課程理念是更好從事數學教育的邏輯起點，因為理念在數學教育活動過程中具有統馭作用。在義務教育階段的數學課程標準中，基本理念專門有一個方面來闡述現代信息技術在數學課程中的地位，其他的幾個方面也間接或直接地涉及到信息技術。在高中數學課程標準的框架設想中也高度重視信息技術對數學課程的影響，認為應不僅重視利用信息技術來呈現課程內容，更應重視信息技術與課程內容的有機整合。設想中提到要在課程中使用科學型計算器以及各種數學教育平臺，加速數學與信息技術的結合。在內容上，要突出算法在整個數學發展中的獨特作用，使算法成為理解數學發展的重要線索，力求把算法融入到數學課程的各個部分。正是因為信息技術已經融化到數學教育的深層結構，融入數學教育的知識體系，成為傳播內容的最佳工具和學生探究知識、體驗數學、感受知識的中介，在可預見的將來，信息技術將使數學教育發生一些實質性的變化，數學教育的面貌將會煥然一新，數學教育的實踐與數學教育的理論研究將會更加深入。
信息技術的發展改變了人類學習與生存發展的環境，也改變了幾個世紀數學教學、數學學習的方式。由于它對人發展的重要性，迫使人們不斷思索數學與現實的切合度；更是因為信息技術與數學技術的千絲萬縷的聯系，使人們認識到它在數學課程結構中的重要性。信息技術不僅被看做是教師教的工具、是學生學的工具、是學生的認知工具與情感發展工具，而且也是數學教育工作者在建構數學內容體系時首先考慮的因素，進而引發人們重新思考數學課程的基礎性、多樣性、選擇性以及如何在信息技術條件下使學生積極主動地學習，在打好基礎與追求創新中不斷提高學生的數學思維能力，更進一步促使人們思考在數學教育過程中如何利用與發展學生的信息技術能力，如何處理好師生關系。在信息技術條件下，必將改變人們對數學的內容、形式、應用、人文價值以及評價的認識與看法，可見信息技術與數學課程理念的整合是數學教育發展的必然。
2．信息技術與教學課程內容選取的整合
信息技術與數學課程內容的整合可以打破數學知識間的條塊分割局面，使傳統代數、幾何、三角分家的體系成為一個有機的整體，打通知識融合的道路。義務教育階段，數學課程標準按不同層次將學生必須學的數學知識分為數與代數、空間與圖形、統計與概率以及實踐與綜合運用四部分，然后按不同學段整合成學生的學習領域。而這些內容標準只給出具體目標，不直接對教學具體內容、教材編寫體系、教學先后順序等問題作出硬性統一的規定，使學生所學和教師所教富有彈性和力量。在當今信息技術迅猛發展的時代，各種信息撲面而來，越來越需要人們綜合素質的提高，需要學生動用各種知識、方法和手段來獲取信息，特別是一些數據信息的處理，借用計算機來完成更加快捷方便，使得與我們不能分離的數顯得更具應用價值。即使對一些煩瑣的計算、方程的求解、遞歸、迭代，也能在計算機上實現，使得日常生活中一些重要的數學知識以快捷方便的形式出現在課堂上，成為學生學習的內容，大大豐富了學生的知識疆界。利用計算機可以更方便地尋找數與形的規律，使得觀察與驗證得以進行，使得數與形的結合真正從理論走向實踐。正是借助于計算機，才使得一些現代數學的內容能夠及時地滲透到中學數學內容體系之中，如分形、混濁問題、孤立子等非線性知識進入學生課堂。同時才有可能把原先一些費勁的煩瑣計算問題簡化下來，使學生有更多的時間考慮如何探索獲取更多的知識，使得有更多的內容以方便的形式介入學生的學習過程中，真正實現數學內容的彈性化、學生發展空間的擴大化；使學生有機會接觸一些有重要價值的數學知識，如高中數學中設計邏輯框圖讓計算機去執行、用計算機符號系統表示數學內容、用計算機語言表達數學命題、用程序和算法表示數學過程、“IF…，THEN…”這樣的語句可以在數學課程中出現等。
信息技術的介入使得數學知識的結構發生了一些變化，可以使學生認識數學知識的組成要素，特別是對它的一些基本屬性進行重新認識，使知識更多的以過程的方式進入學生的學習生活中。而從事編寫教材的人也有更多的選擇余地、更大的思考空間，數學教材中的一些知識呈現方式動態化、可操作化，更多的是讓學生去試驗。使得師生的思維方式得以不斷擴展，人們更有信心和力量。
3．信息技術與教學教學的整合
信息技術與數學課程的整合最直接的就是教學方式的變革與學習方式的變革。在信息技術條件下，引起數學教育工作者更多的就是對教學觀的反思與課堂結構變化的關注。信息技術環境下所發生的最根本的變化之一是教師作用與角色、學生學習環境的變化，教師不再是知識的提供者、權威和智慧的源泉，而成為學生進行探索和發現的伙伴、援助者和指導者、促進者、引導者。學生不僅僅是從聽與做作業中獲取知識，而是在自主探索、合作交流的情境中進行學習；學生不再是知識的被動接受者，而是知識的主動探索者，問題討論的啟動者和調整者，問題解決的參與者、經歷者，使學生獲得更多的學習機會與權利。
信息技術對數學的學習者與教學者都將產生深遠而又持久的影響，這將是革命性的一場變革。學習方式（地點、時間、環境、資源）發生了變化，教學內容與學生的發展的關聯性將無比接近，教學模式將更加體現數學課程改革的新理念，使人人都能得到發展。由于有信息技術作為學習的平臺，就可以滿足多樣性、個性化、區別化的需求。學生可以利用的資源更加豐富，會更加積極地參與學習過程，探索與不斷思索才能實現。對教師而言，原先在教學中起主導作用的教材、教參、黑板、粉筆等載體和手段現在可以被以計算機為主要載體所營造的教學環境所代替，如多媒體學習系統、資料庫等，這樣教師不僅有靈活選擇一些素材的余地，而且可以大膽創設一些教學環境，設計更加開放互動的學習活動，參與式、活動式、主體性教學得到實現，師生關系得以改變，成為真正的合作者。
信息技術提供了理解、探索數學的平臺，把數學變得容易理解，使得數學走向生活，走向現實，更加情境化，使得數學教學更加生動活潑，真正從書本中、課堂上、考試中走出來，回到數學教學的本體上來。利用技術之間的交互作用，創設逼真的數學學習情境，用錄像、影碟以及計算機軟件的方式呈現數學問題，以視覺形式出現比以文本的形式出現使得數學材料更具有活動性、可視性和空間立體感，而且易于與其他學科相結合，使得數學知識與其他知識融通起來，進而使學生深刻體會數學的作用與價值，感悟數學的真諦，真正經歷數學化的過程，共事學習收獲，從中真切地感受數學的優美、力量、統一性。
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